79. Биноминальная модель ценообразования на опционы и ее использование в оценке бизнеса.

Опцион это право приобрести или продать некий актив по определенной цене (цене исполнения, striking price) в определенный момент (время или срок опциона) либо в течение периода до этого назначенного момента.

Европейский опцион предполагает право воспользоваться купить или продать актив строго по истечении времени опциона. Американский опцион разрешает воспользоваться этим правом в любой момент до истечения срока опциона.

Опционы при этом рассматриваются как производные цен­ные бумаги, дающие право либо на приобретение (опционы на покупку — «Calls»), либо на продажу (опционы на продажу — «Puts») ценных бумаг, являющихся базовыми для соответст­вующих опционов.

Биномиальная модель ценообразования на опционы была раз­работана Джоном Коксом, Стивеном Россом и Марком Рубин­штейном на основе так называемой непрерывной модели ценооб­разования на опционы.

Содержание: пусть есть акции некоторой компании, приобретение кото­рых хеджируется опционом на покупку этих акций. Предполо­жим сначала, что срок истечения опциона равняется одному периоду: Т = 1. Цена акции на текущий момент равна S0. Пусть, далее, существуют только два сценария изменения этой цены через период: цена может подняться в u раз (в долях еди­ницы, т.е. цена акции через период станет 100u процентов от S0) либо опуститься в d раз (в долях единицы, т.е. цена акции через период станет 100d процентов от S0). Вероятности этих двух исходов в сумме составляют единицу. Цена исполнения опциона равна X. Рынок, на котором совершаются сделки, со­вершенен и на нем невозможны спекуляции.

В момент исполнения опциона через один период цена оп­циона как в случае повышения цены акции (обозначим для этого случая будущую цену опциона как C1u), так и в случае ее понижения (для данного случая обозначение будущей цены оп­циона — C1d) сравнивается с прибылью, которую в этот же мо­мент способно принести исполнение опциона. В обоих опи­санных сценариях тогда:

C1u = mах[uS0 - X, 0]; C1d = mах[dS0 – X, 0].

Теперь предположим, что мы создаем портфель из h акций, хеджируемых опционом на покупку этих h акций, финансируя (полностью либо частично) приобретение данного портфеля взятием взаймы по ставке R суммы В. Стоимость портфеля ак­ций на начальный момент, следовательно, равна (h•S0–В), т.е. их рыночной стоимости за минусом стоимости появивше­гося долга.

К моменту истечения срока опциона (здесь — спустя один период) опцион на покупку всего портфеля акций должен сто­ить, как только что доказано выше, ровно столько, сколько на этот момент будет стоить сам хеджируемый портфель. Цена опциона — на этот раз на покупку h акций — для случаев по­вышения и понижения цены акций должна, следовательно, со­ставить:

C1u = uhS0–B(1+R) – для случая повышения цены акций;

C1d = dhS0–B(1+R) – для случая понижения цены акций,

где B(1+R)— будущая стоимость (future value) взятого долга — сумма за него, которую придется отдавать через период.

Если теперь исходить из того, что в начальный момент оп­цион на покупку включаемых в портфель акций должен стоить какую-то одну цену, которая должна быть эквивалентной цене опциона спустя период независимо от того, какой из двух ве­роятных сценариев изменения цены акций будет иметь место, то естественно задаться вопросом: при каких значениях показа­телей h* и В* будущие стоимости рассматриваемого опциона для любого сценария изменения рыночной стоимости акций оказываются равными и эквивалентными одной (обоснован­ной, «внутренней») цене опциона на начальный момент?

Эти величины находятся из решения относительно h и В системы уравнений для C1u и C1d.

h* = (C1u – C1d) / (ud)S0, В* = (uC1d dC1u) / (u- d)(1+R)

Чтобы предотвратить возможные спекуляции между стои­мостью портфеля и ценой хеджирующего его опциона (поскольку рассматривается совершенный рынок), портфель, содержащий h* акций (или — в расчете на одну акцию — h* до­лей одной акции), профинансированный взятием взаймы сум­мы R*, должен иметь такую же начальную стоимость, что и на­чальная стоимость опциона на его покупку. Иначе говоря:

С1 = h*∙S0 – В*.

Данное уравнение и выражает обоснованную («внутрен­нюю») цену опциона на текущий момент.

Подставляя в это уравнение выражения для найденных по­казателей h* и В*, его можно также представить и в следующей форме:

С1 = (C1u – C1d) / (ud) + (uC1d dC1u) / (u–d)(1+R)

или, что то же самое: С1 =[qC1u + (1-q)C1d] / (1+R), где q=[(1+R)-d]/(u-d)

Число h* в этой модели называется числом хеджирования или коэффициентом хеджирования. Смысл именовать его коэф­фициентом хеджирования заключается в том, что это число можно понимать как количество акций, которое можно эффек­тивно хеджировать приобретением опциона на покупку (здесь) одной акции.

Биномиальная модель ценообразования на опционы была обобщена Ф. Блеком и М. Сколсом применительно к ситуации, когда в каждом единич­ном периоде два возможных сценария изменения рыночной стоимости хеджируемых акций имеют место в рамках любого числа периодов, а не только одного периода, как рассматрива­лось выше.

В начальный момент времени, когда до истечения срока ос­тается Т единичных периодов, общая формула для расчета обоснованной («внутренней») цены опциона на покупку акции, чья рыночная стоимость может изменяться таким образом, выглядит так (формула Б.лека — Сколса).

Ст – внутренняя цена на опцион; S0 -сегодняшняя цена акций; δу – стандартное отклонение текущей доходности у рассматриваемых акций; Т – срок, определенный условием опциона, в течение или по истечении которого владелец имеет право приобрести акции по заранее определенной цене Х; Х – цена исполнения опциона; R – безрсковая ставка, обычно представляющая собой средневзвешенную (по разным выпускам) доходность к погашению долгосрочных гос. олигаций.